Eugene Rudoi

axios использует эту библиотеку ( и про это написано в README библиотеки, поэтому читайте документацию) для серилизации параметров, вот пример того, что вы хотите получить:

var unencoded = qs.stringify({ a: { b: 'c' } }, { encode: false });
assert.equal(unencoded, 'a[b]=c');

Ваши параметры должны быть такими:

{
 params: {
    filter: {filter: this.filter.q},
 },
 paramsSerializer: function (params) {
     return Qs.stringify(params, {arrayFormat: 'brackets', encode: false})
 },
}