Андрей

Блэт, устал перепесывать свой ответ, а все потому что ты внятно вопрос задать не можешь. Если ты о том что при прокрутке слайды выходят за границы контейнера то:
Короч это баг slick. Точка. Не знаю зачем я удалил ответ). Но, повторюсь, странно что тот кто смотрит не видит это во всех браузерах. Советую присмотреться к примерам на сайте slick. Если же нет, то тогда я без понятия о чем речь.
Но лучше просто поставь owl и выкинь эту недокарусель которая есть сейчас.
А еще скролл колесиком не работает в edge почему-то.

Можно плагином:
https://slideout.js.org

autoplay выключен в ios и android по умолчанию. Может и можно но через костыли какие-то, насколько я понял.
Да и зачем надо людям с мобильным трафиком грузить это мелкое (на телефоне), закрытое заголовком видео?
Но я на всякий тоже подпишусь, вдруг кто нашел чудо-решение.

Все это легко делается ручками на css. Drop down списки только оживить надо будет js/jquery.
Меня до сих пор мучают вопросы, почему дизайнеры решили что они могут и им очень надо видоизменять выпадающий список? Это добавит функциональности? На чей-то вкус он выглядит лучше чем обычный select?
Если уж совсем приспичило то как вариант можно использовать selectize.js

У меня в сафари оба примера идентичны и не глючат, и не прекращают работу на полпути. Они тупо не работают вовсе :)
Хотя нет, на твоем сайте глючит меню, если скроллить страницу вверх то меню трансформируется, как будто я скроллю вниз.

У меня в эмуляторе айфона в среде xcode они вообще не работают. Всегда активна первая вкладка и виден текст который соответствует ей. Можно переключать вторую и третью но это просто визуальный эффект, ничего не меняется.
На десктопе в средней картинке происходит смещение на пиксель другой при наведении курсора.
Пропадает эффект hover если навести курсор на текст в табе.
При первом наведении картинка второго состояния подгружается с видимым эффектом.