Запись в json файл и обновление python?

tteqwe, для обновления уже существующего словаря воспользуйтесь методом update(). Для этого необходимо считать актуальное состояние конфига во временный словарь и потом просто обновить нужное поле. По итогу все будет выглядеть примерно так:

if request.method == 'POST':
    with open('sw_templates.json', 'r', encoding='utf-8') as f:
        to_json = json.load(f)
    post_data = request.get_json()
    json_from_post = {}
    if post_data['type'] == 'com':
        json_from_post = {'COM-port': post_data}
    elif post_data['type'] == 'tcp':
        json_from_post = {'TCP': post_data}
    to_json.update(json_from_post)
    with open('sw_templates.json', 'w', encoding='utf-8') as f:
        json.dump(to_json, f, sort_keys=False, indent=4, separators=(',', ': '), ensure_ascii=False)

Как записать в переменную информацию введённую в QTextEdit по нажатию QPushButton? Расположено на QDockWidget?

yong, только присмотрелся. Добавьте в конструктор __init__() класса MainWindow следующую строчку:
super().__init__()
Ну и вызвать window.show() для отображения, собственно, виджета, тоже бы не помешало.

А ошибка ваша в банальной опечатке:
Добавьте self к formazhalob везде, где он отсутствует. То же самое относится к textzz.

Как записать в переменную информацию введённую в QTextEdit по нажатию QPushButton? Расположено на QDockWidget?

yong, ну, это дурной тон, писать названия транслитом.
complaint_form и send_button не режут глаз и всем, кто знаком с английским, понятен смысл переменной.