Я бы поставил на то, что у вас shared хостинг и там банально закрыты порты для отправки почты, 25, 465, 587. Это при условии, что вы все верно настроили для отправки почты через smtp, хотя на самом деле и без этого письма в большинстве случаев приходят от таких сайтов, просто попадают в спам.
Попробуйте вместо вашего текущего плагина использовать
WP Postman SMTP и в нем использовать авторизацию через Google API. В плагине есть инструкция с видео, как это настроить. Если проблема в закрытых портах, то с помощью этого плагина вам удастся ее решить. Так или иначе, он ведет лог отправленных писем, в котором можно посмотреть, какая именно ошибка происходит, плюс есть вариант самотестирования, в котором вы также сможете увидеть, на какой стадии отправки почты происходит ошибка.
