manifest.json

{
  "manifest_version": 3,
  "name": "Request Header Logger",
  "version": "1.0",
  "permissions": [
    "webRequest"
  ],
  "background": {
    "service_worker": "background.js"
  },
  "host_permissions": [
    "*://*/*"
  ]
}

В host_permissions лучше указать только нужные хосты

background.js

chrome.webRequest.onSendHeaders.addListener(
    function(details) {
        console.log("URL: " + details.url); // Тут будет url запроса
        console.log("Request Headers: ", details.requestHeaders); // Тут будут заголовки запросов
    },
    { urls: ["<all_urls>"] },
    ["extraHeaders", "requestHeaders"]
);

Спрашивайте у заказчиков) Можно через приватный git-репозиторий. Можно архивом