Sadix Blaren

Background нельзя переместить за пределы элемента для которого он назначен. Можно позиционировать его при помощи свойства background-position: (далее через пробел расстояние слева от края и потом сверху).
В вашем же случае будет

blockquote {
    padding: 0.5em;
    padding-left: 1.5em;
    margin: 0;
    border-left: 4px solid #000;
    font-style: italic;
    margin-left: 0.8em;
    background-color: rgba(225,225,225,0.5);
    background-position: 0.5em 0;
}