Как мне отправить данные на сервер через curl в php?

Ну какие-то дополнительные заголовки. Почитайте документацию апи с которым работаете и должно стать понятно.

Как правильно сделать регистрацию через php?

joomla7, ну вот у вас есть проверка isset() на все принимаемые с пост запроса ключи, можете также прогнать на !empty() и будет вам не пустые поля приходить
Еще пароль в бд в открытом виде никто не пишет, нужно генерировать хэш хотя бы через md5()

Почему ajax форма работает на локальном хостинге, но не работает на глобальном?

Посмотрите в консоли браузера на вкладке Network что происходит с запросом

Отчего возникает ошибка SMTP?

testzsrees, Ну да, от вас сыпется спам, увы, не подскажу. Это вам нужно почитать по конфигурацию конкретно вашего почтового шлюза, либо все же привлечь специалиста, который поможет вам разово за вознаграждение.

Отчего возникает ошибка SMTP?

testzsrees, это с вашего почтового сервера была попытка отправки письма от [e-mail] в заголовке MAIL FROM (от кого). Если это вообще не ваш ящик, то имеет смысл сделать обязательной авторизацию для отправок с вашего почтового сервера, чтобы он не эксплуатировался спамерами, а также проверить его на иного рода уязвимости.

Ошибки при парсинге DOMDocument, в чем причина?

drunken_ikarus, у вас похоже во входящем html id дулируется, а по спецификации DOM не должно. Попробуйте как вариант игнорировать ошибки библиотеки с помощью функции https://www.php.net/manual/en/function.libxml-use-...

Как сортировать список городов по первой букве и по блокам А, Б, В и т.д?

Artem Ivanov, какой смысл? Вы часто видели название городов с цифрами?