Самый простой вариант — запрос через QNetworkAccessManager. В документации о нем много информации и примеров
doc.qt.nokia.com/latest/qnetworkaccessmanager.html
QNetworkAccessManager *manager = new QNetworkAccessManager(this);
connect(manager, SIGNAL(finished(QNetworkReply*)), this, SLOT(replyFinished(QNetworkReply*)));
manager->get(QNetworkRequest(QUrl("http://habrahabr.ru/api/profile/tucnak")));
Суть в том, что нужно сделать GET-запрос на страницу API. Результат будет возвращен в виде указателя на QNetworkReply в параметре слота и может быть извлечен в строку методом QNetworkReply::readAll().
