SPA -SINGLE Page Application. Т.е. с точки зрения Laravel - у вас ОДНА страница, на которой вы подключаете Vue.JS, и который сам уже разруливает роутинг приложения. Т.е. правильный вариант - в Laravel один роут (типа только /), а остальное в Vue.
А зачем вы делаете избыточное действие check? Проверяйте запись сразу post. В случае ошибки возвращаете false, в случае успеха - массив атрибутов записи.