Была такая же проблема, нашёл своё решение.
Всё перестало работать после того, как я изменил рабочую область в VS (в качестве рабочей области указал корневую папку).
Live Server стал обновлять страницу когда вернул рабочую область обратно.
Укажи в качестве рабочей области непосредственно папку с проектом и дополнительно укажи эту папку в настройках Live Server Workspace (Ctrl + Shift + P > Live Server: Change Live Srever Workspace > укажи папку проекта)
Надеюсь помогло.
