Для каждой записи (блока) сделать атрибуты data-id и data-number, например. Когда пользователь переместил запись на новое место проходиться по всем блокам циклом и обновлять data-number от 1 .. N. Затем отправлять POST на сервер, связку каждого блока — data-id и его data-number.
Также можно попробовать сохранять позиции в localStorage