Вот как это сделал Я. И теперь сиди и думай что ты не так сделал
let prom = prompt('Введите слово, для проверки')
const arr = prom.toLowerCase();
let arr2 = arr.split('').reverse().join('');
arr2 == arr ? alert('Слово является палиндромом') : alert('Слово не является палиндромом');
P.S У тебя проверки нету и "функция" palindrom ничего не делает. ТЫ ее даже не вызываешь. Она просто существует.
Написано
Войдите на сайт
Чтобы задать вопрос и получить на него квалифицированный ответ.
P.S Не помогло :)