ошибка, ты скрываешь дочерний элемент burger_active по клику на ссылку
Ниже правильный кусок
$('.burger_active').hide();
$('#burg').on('click', function(){
$('.burger_active').slideToggle();
})
$('.burger_item a').click(function(){
$('.burger_active').slideUp(400);
})