Ты мог зайти с другого конца, и не аниммировать margin, а прилепить кнопку в самый низ top:100, а потом slideDown...
Вместо .mouseover лучше используй .on("mouseover", function() {}), а вместо самого mouseover, используй mouseenter. И разберись как они работают изнутри.
И приведи свой код в порядок.
И незачем делать кучу выборок, каждый раз по много раз. Сохрани ссылку на элемент и пользуйся ей.
https://codepen.io/Profesor08/pen/NBMEEr 
