Какую ОС поставить на старый ноутбук?

xubuntu будет немного подтормаживать во время запуска приложений (из-за 512 МБ), но альтернатив в самом деле мало: удобно и более или менее легковесно. Я очень советую попробовать добавить оперативки - разница будет видна невооруженным глазом.

Каковы причины резкого сокращения ёмкости ноутбучного аккумулятора?

А это нормально, что он резко начинает умирать?

Каковы причины резкого сокращения ёмкости ноутбучного аккумулятора?

Аккумулятор не перегревался (даже не нагревался) ни периодически, ни разово, если вы имели в виду температуру. Как-то резко постарел.