Я, как обычно, сам спросил и сам ответил.
Но, думаю, это будет полезно всем другим, у кого появится такой же вопрос.
Необходимо прописать в composer.json:
"autoload": {
"psr-4": {
"App\\": "src/App"
}
}
где "src/App" путь к директории с вашими классами.
После обновляем composer и теперь автозагрузчик будет успешно подгружать классы.
Так же очень просто прописать в routes:
$app->get('/', 'App\Controllers\Site\NameController:index');
и автозагрузчик подгрузит NameController и выполнится метод index.
