Начинать вычисления только после того, как компонент добавлен на страницу (mounted), иначе размеры элемента будут неизвестны. Добавить переменную для вычисления ширины: в JQuery-примере эту роль выполняет menuItemsCounter. Использовать this.$refs.menu[index] для вычисления ширины каждого отдельного элемента.
Пример 
