POPUP скрипт. Как поставить нужное мне значение?

Не за что... Возможно $(window).outerHeight() или $('#block-new3').height() принимают какое либо значение не сразу, отсюда может быть эта проблема.

Почему после AJAX запроса к *.php файлу, сервер отправляет текст без html кода?

но ссылка именно как ссылка приходит, или некликабельная?

POPUP скрипт. Как поставить нужное мне значение?

можно так попробовать:
...
if ($(this).scrollTop() == toper) {
var i = $(window).outerHeight();
var blockH = $('#block-new3').height();
var blockT = i - blockH / 2;
topNav[0].click();
$('.ui-dialog').css({'position': 'fixed', 'top': blockT});
}
...

POPUP скрипт. Как поставить нужное мне значение?

var i = $(window).outerHeight();
заменить на
var i = $(window).height();
если будет срабатывать правильно, значит .outerHeight() лагает.

Почему вместо " отображается & quot;?

сюда ---> $replacements = array(...) надо добавить " в том же стиле как и другие значения.

Как убрать дублирование изображений?

Soho: Логично будет посмотреть, что предлагает Punkie, поскольку я с Wordpress никогда не работал и моё решение может занять слишком много времени. Я даже не интересовался на каком языке он написан. :-)
Но всё же, ведь как-то помечается, что эта миниатюра главная, а другая нет? Значит можно задать условие описанное Вами.
Допустим у главной миниатюры есть html-класс "main-image-of-article", значит задаём условие(код jQuery):
if ($('img.main-image-of-article').length>0) // если количество главных картинок больше ноля, тогда ...
{
add_image_size(‘vn_featured_xl’, 760, 520, true); // Featured Posts
add_image_size(‘vn_featured_l’, 380, 260, true); // Featured Posts
add_image_size(‘vn_carousel’, 380, 420, true); // Carousel Posts
add_image_size(‘vn_posts_l’, 360, 280, true); // Latest Posts Columns
}