Всё, я добился своего.
Мой скрипт запускался под пользователем, у которого нет прав (www-data).
Чтобы скрипт запустился, я установил модуль sudo и в его конфиге (visudo) добавил строчку: www-data ALL=NOPASSWD: ALL
Перед самой командой я теперь приписываю sudo -S и она отрабатывает.
