У вас же есть в коде массив items[$i]. Точно так же и с $link_video_id.
$link_video_id[$i] = $res->items[$i]->id->videoId;
А для чего там, в html коде бекслэши везде? Не проще ли заменить на одинарные кавычки?
Я пробовал поставить после print... header("Location:index.php"); но в таком случае появляется ошибка "Cannot modify header information - headers already sent by..."