В момент успешной авторизации обновляешь стейт this.$store.state.user?
Тупо выведи на страницу переменную this.$store.state.user и глянь меняется значение в момент авторизации или нет. Если меняется значит просто рефреш v-avatar не проходит.
Добавь к v-avatar ключ key уникальный. Или через ref принудительно v-avatar ревреш через $forceUpdate
Написано
Войдите на сайт
Чтобы задать вопрос и получить на него квалифицированный ответ.
Тупо выведи на страницу переменную this.$store.state.user и глянь меняется значение в момент авторизации или нет. Если меняется значит просто рефреш v-avatar не проходит.
Добавь к v-avatar ключ key уникальный. Или через ref принудительно v-avatar ревреш через $forceUpdate