Илья Прыгунов

Скопировал соответствующий файл в папку темы (который отвечает за вывод полей) и подключил его в functions.php и изменил под себя.

Помог комент: ReaverJS @ReaverJS
Ошибка скорей всего в разных контекстах "this".
Думаю можно изменить this на window, а this.document на document.

Итоговый код:

<template>
  <!-- Yandex.RTB R-A-643225-1 -->
  <div id="yandex_rtb_R-A-643225-1"></div>

</template>

<script>
  export default {
    mounted() {
      (function(w, d, n, s, t) {
        w[n] = w[n] || [];
        w[n].push(function() {
          Ya.Context.AdvManager.render({
            blockId: "R-A-643225-1",
            renderTo: "yandex_rtb_R-A-643225-1",
            async: true
          });
        });
        t = d.getElementsByTagName("script")[0];
        s = d.createElement("script");
        s.type = "text/javascript";
        s.src = "//an.yandex.ru/system/context.js";
        s.async = true;
        t.parentNode.insertBefore(s, t);
      })(window, document, "yandexContextAsyncCallbacks");
    }
  }
</script>