Различие в переводах на сервисе и через API существует потому, что на сервисе используется гибридный перевод (нейроперевод + статистический фразовый), а в API — только статистический фразовый.
В платной версии API Яндекс.Переводчика на платформе Яндекс.Облако используется такой же перевод, как и на сервисе.
Подробнее об этом можно почитать тут: https://cloud.yandex.ru/services/translate