Решение следующее:
1. Для группы "Администраторы клиентов" надо установить право Чтение на папку /bitrix/admin/;
2. В настройках доступа группы дать доступ к главному модулю на уровне "[V] Просмотр данных модуля и изменение заданных профилей" и в предложенном списке указать модерируемую группу "Клиенты".