dim5x

import requests
from bs4 import BeautifulSoup

def parse_table(div, results):
    # Ищем таблицы внутри данного div
    tables = div.find_all('table')
    for table in tables:
        rows = table.find_all('tr')
        for row in rows:
            cells = row.find_all('td')
            if cells:
                # Извлекаем название и ссылку
                name = cells[0].get_text(strip=True)
                link = cells[0].find('a')['href'] if cells[0].find('a') else None
                if link:
                    results[name] = link

def recursive_parse(url, visited, results):

    if url in visited:
        return
    visited.add(url)
    print('Парсим URL:', url)

    response = requests.get(url)
    soup = BeautifulSoup(response.content, 'html.parser')

    # Ищем все div с itemscope
    divs = soup.find_all('div', itemscope=True)
    for div in divs:
        parse_table(div, results)  # Парсим таблицы внутри найденного div

    # Ищем все ссылки на подстраницы
    links = soup.find_all('a', href=True)
    for link in links:

        sub_url = link['href']
        # Проверяем, что ссылка ведет на подстраницу и не является текущим URL
        if 'respublika_bashkortostan' in sub_url and sub_url.startswith('http') and sub_url != url:
            recursive_parse(sub_url, visited, results)

# Начальная URL
start_url = 'https://russiaschools.ru/respublika_bashkortostan/'
visited_urls = set()
results_dict = {}
recursive_parse(start_url, visited_urls, results_dict)


for name, link in results_dict.items():
    print(f'Название: {name}, Ссылка: {link}')

З.Ы. я не знаю могут ли быть одинаковые наименования (например МБДОУ ДС №5) в разных районах, поэтому или просто выводите на экран или записывайте вместе с названием района.

Есть несколько моментов:
1. Про длинный кусок кода: он и не будет работать так, как вы хотите, потому что вы передаёте аргумент with_extra_data=True в свою самописную функцию, а в parser.get_flats() - нет. Соответственно он и не парсит дополнительные поля, отсюда и: "пробовала вывести ключи: смотрю, а их там тупо нет".
Должно быть:

data = parser.get_flats(deal_type=deal_type, rooms=rooms, with_extra_data=True,  additional_settings={"start_page": page, "end_page": page})

2. Если вы действительно использовали эти прокси (а не просто привели их для примера), то это бессмысленно - они нерабочие. Прокси из свободного доступа редко долго живут, а тут они вообще из примера на pypi.org / github.

3. Вёрстка сайтов постоянно изменяется, в том числе и для противодействия парсингу. Текущая версия циана не имеет<span> c текстом "Тип жилья", а именно такой селектор использовался в библиотеке парсера, следовательно он всегда будет отдавать -1 для object_type.

4. Если вы всё-таки хотите парсить сайт, используя cianparser, то вам нужно внести несколько изменений в файл библиотеки: "Путь до вашего проекта\venv\Lib\site-packages\cianparser\flat\page.py".
В функцию__parse_flat_offer_page_json__(self)после инициализации словаря page_data, добавить:

ot = self.offer_page_soup.select_one('[data-name="OfferSummaryInfoItem"] p:nth-of-type(2)').get_text()
page_data["object_type"] = ot

и закомментировать строчки:

# if "Тип жилья" == span.text:
#     page_data["object_type"] = spans[index + 1].text

Результат: