Я не эксперт :D
Но есть куча вариантов решения от использования emit до каких ни-будь state хранилищ по типу
Pinia для Vue 3
Самый легкий способ установить
VueUse и использовать функцию
useLocalStorage
Она позволяет реактивно работать с localStorage
При изменении данных в одной точке в другой она также изменится
Если не хочется скачивать другие зависимости можно написать свою функцию которая будет реактивно работать с localStorage но лучше уж не придумывать велосипед.