Скорее всего ваша проблема связана с реактивностью.
Вот здесь подробно и на русском языке написано, как нужно делать так, чтобы объекты и как в вашем случае массивы были реактивны.
Код ваш я так и не смог прочитать нормально, но я думаю, что вам нужно создать метод, например clickHandler()
и в нем:
this.$set(this.counter, indexOfItem, newValue) 
