Не уверен, что ещё актуально. Но полностью в вебе позволяет работать брокер Нэттрэйдер.
Через свой веб-терминал Tradernet. В любом адекватном браузере (Хром, Сафари, ФФ) работает, адаптируется под экран. На планшете тоже работает. Наоборот под ИЕ есть специальная версия.
Мобильные приложения есть, но старых версий. Только если контролировать портфель.

Стоит сразу заметить, если работать в Трейдернете на зарубежных площадках, то сделки идут в виде форвардных контрактов. Через российского брокера россияне без статуса квалифицированного инвестора торговать не могут (если только 52 акциями на Питерской бирже, что заработало только в конце 2014).
Но если открывать через европейский офис, например, то выход будет через тот же веб-интерфейс и на зарубежные площадки.

По поводу интерфейса — в целом всё довольно интуитивно, во всяком случае если сравнивать с тем же Квиком. Но если совсем нет опыта в торговле акциями, то тоже можно посмотреть видеокурс.

Вот можете посмотреть promo.tradernet.ru