cython

Думаю, что перед использованием react, нужно ещё js выучить.
Вы не сохраняете данные в массив, а всё время перезаписываете поля в state. Добавьте поле в state, где будете хранить массив сохранённых объектов, с данными об имени и фамилии. Таким образом можете его обновлять:

this.setState({
  ['имя_поля']: [...this.state['имя_поля'], {
    last_name: this.state.last_name,
    first_name: this.state.first_name
  }]
})

Никак, функциональный подход такого не предполагает. Если вам нужны общие состояния, то используйте Redux или подобные библиотеки.

import { useHistory } from "react-router-dom";

const history = useHistory();  // В компоненте

history.push("/path");  // Чтоб перейти к Route через react-router

Необходимо использовать специальные библиотеки для этого.
1. CSS Modules - https://github.com/css-modules/css-modules
2. React CSS Modules (нынче плагин для babel) - https://github.com/gajus/babel-plugin-react-css-modules