Core Code

Согласен с Сергей Протько
От себя добавлю: вместо расширения socket используй лучше расширение stream: функции stream_socket_* и stream_select

Так же можно использовать неблокирующие библиотеки для "асинхронной" работы с сокетами: ReactPHP/Socket (сервер), ReactPHP/Socket (клиент) или IcicleIO/Socket (и клиент, и сервер)

Могут ли в PHP сокеты работать асинхронно?

Да. Это называется non blocking sockets а не "асинхронно".

но не понятно как дальше с этим работать.

socket_select.