Как настроить AmneziaVPN так, чтобы он не ломал локальную сеть?

Проверь, чтобы VPN не перехватывал локальные маршруты: добавь локальные IP-подсети в исключения (split tunneling) это полностью решает проблему.
Аналогично CapCut Mod APK: при правильных настройках все функции работают без конфликтов и лишних ограничений. https://thecupcut.com/

Как настроить AmneziaVPN так, чтобы он не ломал локальную сеть?

Решение включить split tunneling/исключения маршрутов в AmneziaVPN (разрешить доступ к подсетям 192.168.x.x / 10.x.x.x), тогда локалка и VPN будут работать параллельно без разрывов.
Кстати, как и с https://thecupcut.com/, где важно правильно настроить доступы и функции, в VPN всё решает корректная конфигурация, а не постоянные переподключения.