Как минимум если на странице поиска поиск делать, отправляются данные:
s: протеин
action: searchwp_live_search
swpengine: default
swpquery: протеин
И так
https://www.buildbody.org.ua/wp-admin/admin-ajax.p... оно работает с виду.
А если из шапки, то только:
s: проте
Смотрите, какие скрипты за форму в шапке отвечают
