1. Имейте в виду, что если Вы отвяжете (разделигируете) домен от яндекса, то почта этого домена, если она есть, также отвяжется и перестанет работать, равно как и другие сервисы, сервисы (серверы), указанные в DNS. Так что узнайте у тестя, пользуется ли он или кто-либо другой, почтой nameN@your-domain.com. Если пользуется, то в вашем случае, технически наиболее простым вариантом будет найти доступ к учетке, указанной, как сказал
Илья Мясин в
dig your-domain.com soa +short. Если доступ всё же не найти, то убедитесь в том, что у вас есть все текущие записи DNS. Вы их должны будете прописать на новом DNS (у хостера, например).
2. Добавление сертификата к сайту дело не совсем простое (лично для вас, исходя из вашего вопроса), так как надо будет прописывать редиректы в самом вебсервере, прописывать в robots.txt (если он используется) директиву host:
https://your-domain.com. В яндекс вэбмастере в панели "переезд" сайта ставить https (в гугле соответственно тоже). И теперь самое главное, раз тесть переживает за позиции, то да переезд на https временно может изменить ранжирование.
В общем, если Вы не сделаете правильно редиректы всех страниц с http на https, то сайт действительно уйдет из поиска. Так что подойдите к вопросу очень серьезно. Изучите материалы по переносу сайта на https. Изучите что нужно сделать непосредственно на движке вашего сайта, на вебсервере вашего сайта, в панелях управления сайтом в поисковиках (это я про яндекс вэбмастер и гугл-вэбмастер, если используется, конечно).