Sergey

Добавьте в бутстрап меню параметр theme_location

wp_nav_menu( array(
    'theme_location' => 'main_menu',
    'depth' => 2,
    'container' => false,
    'menu_class' => 'nav navbar-nav',
    //Process nav menu using our custom nav walker
    'walker' => new wp_bootstrap_navwalker())
    );

Пример

Как-то так

Классу navbar-right указан отрицательный отступ вправо

@media (min-width: 768px)
.navbar-right {
    margin-right: -15px; 
    float: right;
}

Перезапишите у себя в файле стилей его. Пример

Ваш вариант:

<button type="button" class="navbar-toggle" data toggle="collapse" data target="#responsive-menu">

Правильный вариант:

<button type="button" class="navbar-toggle" data-toggle="collapse" data-target="#responsive-menu">

Тире пропустили в data-toggle и data-target