Доказательство общего случая p^m + 1 <> 2^n
1) Предположим, что m — нечетое. Тогда после разложения полинома в левой части один из множителей окажется нечетным числом (не обязательно простым). При любом n это число не может появиться в правой части.
2) Предположим, что m — четное.
2.1) Рассмотрим случай четного n. После переноса p^m в правую часть и разложения на множители получим в правой части (2^(n/2) — p^(m/2)) * (2^(n/2) + p^(m/2)), что явно не может быть равно единице в левой части.
2.2) Рассмотрим случай нечетного n. Добавим к левой и правой части 2 * p^(m/2). В левой части получится квадрат (p^(m/2) + 1)^2, а в правой части 2 * (2^(n-1) + p^(m/2)), то есть левая часть делится на квадрат двойки, а правая, только на 2.