Если вам не нужно сохранять сообщения - то и хранилище не требуется. Вы сможете обойтись средствами вашего ЯП.
Рекомендую воспользоваться WebSocket протоколом. Реализовать это можно на большинстве ЯП. Если вы хотите сделать это именно на PHP то смотрите в сторону phpDaemon или reactphp. Вам достаточно будет запрограммировать скрипт, который будет принимать соединения и прослушивать отправку сообщений с клиента, затем вы сможете сохранить сообщение в общий массив (что по факту и будет хранением в памяти) и раздавать в сокеты другим пользователям. Все сообщения потеряются с заверщением работы скрипта.
Это подойдёт для тренировочного проекта, поскольку в предложенном мной варианте не учитывается освобождение ресурсов и с ростом сообщений скрипт неизбежно упадёт по памяти. На боевом проекте вам придётся позаботиться об этом, тогда и возникнет необходимость в хранилищах.
Почитайте больше статей в интернетах по этому поводу, например
www.sitepoint.com/how-to-quickly-build-a-chat-app-...