Вообще API не такое уж и редкость, но точнее про нужный банк вам скажет только гугл и техподдержка банка.
Навскидку -
- https://openapi.tinkoff.ru
- https://developer.sberbank.ru/doc/v2/sbbol/api-usage
- online.payment.ru/index0.html?other_api
Это что касается собственно API.
Типовое решение - это выгрузка из интернет банка и загрузка в него файлами. Это поддерживают все банки. Да, чуть сложнее чем API, но есть везде. В качестве подсказки можете посмотреть обмен с 1Ской и распарсить формат - в 90% он обычный текстовый или xml.
