multi.push(num[i2]);
numbers[i] = +numbers[i]; // Здесь ничего не происходит
for (var i2 = 0; i2 < index; i2++) {
multi = num[i2];
// дальше здесь происходят страшные вещи...
}
multi.push(num[i2]); или multi = num[i2]; массив multi никак не меняется и в консоли просто []. Я не понимаю почему        var numbers = [1,-3,5,-6,-10,13,4,-8];
  var sum = 0;
  var index = false;
  var multi = [];
  var num = [];
  for (var i = 0; i < numbers.length; i++) {
  	numbers[i] = +numbers[i];
  	num = numbers;
    sum += numbers[i];
  	if (sum == 0) { index = i; break; }
  	for (var i2 = 0; i2 < index; i2++) {
  		multi = num[i2];
                // дальше здесь происходят страшные вещи... 
  	}
  }
  console.log(index + '  ' + multi);