Как решить проблему с инициализацией начального состояния приложения Vue.js?

возможно я что то не так понимаю, но как вариант вы можете все сохранить в стор и стору задать плагин для сохранения в локалсторейдж, это даст при перезагрузке странице пользователю не загружать данные заново, и просто нужно проверять если стора пуста то кидаем на страницу загрузки. Еще я точно не понял, что вы говорили про роуты которые не получили, тут возможно вам подойдут динамические компоненты. Возможно к слову вы пытаетесь построить излишне гибкую архитектуру, что не всегда хорошо. Если вы действуете на манер сначала запросить айдишники фильмов, а потом по этим айди запросить фильмы, то я пологаю решение в следующем, либо оборачиваем все элементы в какой нибудь компонент либо просто дописываем везде v-if="data" на компонент где отобразятся данные, а v-else вешаем на прелоадер и до тех пор пока в стор не загрузятся данные. Если все это не про ваш случай, то пожалуйста опишите пример из вашей бизнес логики простыми словами, а я постараюсь дать совет по наилучшей реализации

WebPack как собрать изолированный виджет?

странно, тоесть выглядит вот так?

<style scoped lang="scss">
@import '~bootstrap'
</style>

Как правильно реализовать двойной запрос?

так, а что не так? Разве, что я бы разбил для удобочитаймости captcha/check и auth/signin на два отдельных метода, и их бы уже передовал в axios.all

Как заставить Gulp компилировать только изменённые файлы?

И приложите пожалуйста пример своего task для сборки.

Как заставить Gulp компилировать только изменённые файлы?

у вас эти файлы просто собираются в два отдельных css или конкатенируются? и каким плагином для сборки sass вы пользуетесь

Как запустить приложение webpack на сервере?

Так ну смотри во первых pm2 ставь не локально, лучше глобально.
npm i -g pm2
Вообще получается у тебя должен быть входной html скорее всего это файл index.html попробуй его локально открыть будет ли нормально работать приложени. Если все хорошо то на сервере тебе нужно сначала сбилдить
npm run build
и далее тебе нужно настроить любой сервер , лучше всего настроить nginx однажды установишь и все будет работать, его в основном и используют на продакшене. но если просто побаловаться можешь вполне стартовать что то вроде
python -m SimpleHTTPServer
из директории где лежит индекс

Как запустить приложение webpack на сервере?

Валерий Хижевский, посмотри в scripts dev как он запускается, и в зависимости от этого, скопируй сюда посмотрим. Если быть точнее то в package.json объект scripts в нем строка dev