Во-первых, это экономия на спичках. Опкэшер фактически удалит разницу между подходами.
Во-вторых, глобальная переменная будет быстрее.
В-третих, зачем писать отдельный класс для работы с БД? Там максимум две функции — подключения к базе и выполнения запроса.