У меня на канале есть пример реализации чата на React и Socket.IO.
Принцип там я думаю тот же самый. От клиента нужно посылать сообщения с данными на сервер, а сервер отправляет данные всем остальным клиентам. Соответственно на клиенте нужно слушать события с сервера и обновлять состояние компонента, который у вас выводит данные.
https://www.youtube.com/channel/UCbU6vO4Cmd6IW7aXK...