Как делается выполнение контроллера в определенное время?

Так это и есть использование cron, понятно что далее уже отработает фреймворк, но инициирует его работу то кто - дядя вася? - а, нет cron...

Как делается выполнение контроллера в определенное время?

Сам скрипт на сервере ни когда не является инициатором каких-либо процессов. Или cron, или опрос задач, например из базы, по любому запросу к серверу

Как передать данные методом POST PHP + AJAX на другой урл?

По сути получается jquery создает узел script с src = запросу и загружает сырые данные, обрабатывает в callback и возвращает результат, но заморачиваться с этими внутренностями не нужно, jquery это все делает сама. Вот именно по этому чтобы обойти все эти вопросы безопасности и указывается dataType = jsonp. Подробнее, если интересно, можно нагуглить или даже в wiki почитать про JSONP

Как передать данные методом POST PHP + AJAX на другой урл?

$(function(){
      $(".sub").click(function(){
        var phone = document.getElementById("number").value;
        $.ajax({
          type: 'post',
          url: 'http://nextsite.com' ,
          dataType: 'JSONP',
          data: {number: phone}
        });
      });
    });