Yuriy Vorobyov

Необходимо воспользоваться FileReader

На основе вашего кода, обработку файла можно изменить во что-то такое:

handleFile(event: any) {
    const file = event.target.files[0];

    if (file) {
      const reader = new FileReader();

      reader.onload = (e) => {
        file.imageSrc = reader.result
      }

      reader.readAsDataURL(file);

      this.files.push(file);
      this.fileName = file.name;
    }
}

Также необходимо поменять html:

<div *ngFor="let file of files">
  <img [src]="file.imageSrc" />
</div>

У вас есть переменная fileName, которая изменяется при загрузке изображения
Каждый раз загружая изображения вы сталкиваетесь с тем, что переписываете значение конкретно этой переменной

Сейчас у вас идет жесткая привязка к fileName:

<div *ngFor="let file of files">
  <img [src]="fileName" />
</div>

Измените верстку и сделайте привязку на имя конкретного обрабатываемого файла:

<div *ngFor="let file of files">
  <img [src]="file.name" />
</div>