YavaDev

Уберите dist из пути к файлу. Должно быть так assets/css/styles.min.css
В настройках browsersync указана папка сервера baseDir: "./dist/", то есть эта папка и есть localhost.
Выходя из этого вы пытаетесь найти в папке dist еще одну папку dist, а ее там нет.

Вместо .pipe(sass()) надо .pipe(sass().on('error', sass.logError))

gulp.task('sass', function () {
    return gulp.src('scss/style.scss')
        .......
        .pipe(sass().on('error', sass.logError))
        .......
});

Таски fBrowserSync и fStartWatch должны вроде как запускаться паралельно.
В данном случае они запускаются последовательно, а так как таска fBrowserSync не завершается, то таска fStartWatch не запускается.

Инклудим файл с переменной:

@@include('./parts/modules/navbar/navbar.html', {
    "page": "page1",
})

Условия в navbar.html:

@@if (page === 'page1') {
    <span>Navbar for page 1</span>
}
@@if (page === 'page2') {
    <span>Navbar for page 2</span>
}

Переменную page и ее значения можете менять как угодно.