Xane

<form method="POST">
    <!-- Данные записи -->
    <input type="hidden" name="id" value="{$id}">
    <input name="name">
    <input name="title">
    <textarea name="text"></textarea>
    <!-- Параметры записи (существующие) (цикл)  -->
    <input  type="checkbox" name="params[{$param_id}]" value="{$value1}" checked="checked">
    <!-- Новые параметры -->
    <input name="new_params[]" value="param_value" type="checkbox">
    <button>Кнопка добавляющая ещё параметр (через JS)</button>
    </form>

$params = array();
foreach ($_POST['params'] as $param_id => $value) {
    $params[$param_id] = $value;
}
// найти существующие параметры
$old_params  = SELECT * FROM params WHERE ...
foreach ($old_params as $param) {
    // удалить снятые 
    if (!array_key_exists($param['id'], $params)) {
        // DELETE FROM params WHERE id = param['id']
    }
}

// добавить новые
foreach ($_POST['new_params'] as $param_key => $value) {
    // INSERT params SET value = $value, ...
}

А лучше вобще избавиться от $param_id. И просто очищать параметры записи при сохранении, и добавляя только отмеченные.