когда строка не равна а столбец равен класс не добавляется

Предполагаю, что сначала добавляется, а потом в error_col убирается. Если обязательно иметь две функции - можно, например, в error_str добавлять ещё класс, который помечает ячейку как только что проверенную, и в error_col проверять.

function error_str() {
    if (matA_str.find ('tr').length != matB_str.find ('tr').length){
        $('.left-side').addClass('error strError');
    }
    else{
      $('.left-side').removeClass('error');
    }
  }

  function error_col() {
    if (matA_str.find ('tr:first td').length != matB_str.find ('tr:first td').length){
        $('.left-side').addClass('error');
    }  
    else {
      if (!$('.left-side').hasClass('strError')) {
           $('.left-side').removeClass('error');
      }
    } 
    $('.left-side').removeClass('strError');    
  }

Но лучше всё же делать это в одном месте.