Как запустить несколько Docker-контейнеров с MySQL на одном порту и на одном хосте?

Руслан Федосеев, Решение с единой БД - ну такое себе. По вашей логике можно и бекэнд сделать единый с единой кодовой базой, и уже внутри логики определять, к какому сайту пришел запрос и как его обрабатывать.
Решение с единой БД небезопасное (один рут дает доступ ко всей БД), негибкое (рано или поздно сайт придется отпилить по разным причинам), а самое главное - неравномерность размазывания нагрузки говорит о том, что если один сайт поймал пик нагрузки, то начали тормозить все. Про архитектурные вопросы тут даже говорить нет необходимости (что делать если нужны разные движки БД (мускул, постгрес, скьюлайт), репликации и т.д.). На прод я такое бы не пропустил.

Как запустить несколько Docker-контейнеров с MySQL на одном порту и на одном хосте?

Так и не понял, зачем вам реверс-прокси для mysql. Внутри одной виртуальной сети приложения ваш бекэнд (пхп или что там у вас) прекрасно видит вашу БД по дефолтному порту. В моем примере прокинут порт для того, чтобы в БД можно было приконнектиться извне (1.2.3.4:33061) например IDE-шкой. Для продакшена необходимости в этом нет, можно не экспозить БД.
Производительность NGINX достаточно высока и небольшой плюс к времени прохождения запроса - это плата за стабильность и гибкость всей системы. Если почувствуете, что там затык, можно отказаться от NGINX внутри приложения и проксить запросы со шлюза сразу на бекэнд (у меня это php-fpm на 9000 порту). И даже если этого будет мало, можно перейти к прокси не по http, а через сокеты (их нужно будет прокинуть на хост через volumes). Но я пока до такого не доходил. У меня RMS сайтов примерно 3-4 запроса/сек в пике и производительности хватает.