ESP8266-01 + Arduino Mega постоянно перезагружается не могу, как побороть?

Вполне возможно,что у Меги не хватает мощи на трехвольтовом канале.Пробуйте отдельное питание на ESP.

Как настроить работу Arduino с ESP8266 Wi-Fi модулем?

Ну по идее 3.3 для Ардуины в качестве лог. сигнала должно хватать.Так что работать будет.

Как настроить работу Arduino с ESP8266 Wi-Fi модулем?

П.С.Вот,нашел подробности
Warnings:
This module requires a 3.3 volt supply for VCC, and 3.3V logic. It is not 5V tolant. Connect RX or TX on 5V Arduino will
destroy this module. You must use a logic level converter, or a 3.3V Arduino

The 3.3V supply on the Arduino Uno has inadequate current capabilit to power this module. You must provide a separate,
higher 3.3V supply(about 300mA or better)

Как настроить работу Arduino с ESP8266 Wi-Fi модулем?

Тогда советую использовать конвертор уровней.Искать на Ибее или Али по " Logic Level Converter Bi-Directional Module 5V to 3.3V For Arduino"