User700

Здесь:

template <class T> istream& operator>>(istream& stream_in, rat<T> &rvalue) {
  cout << "Enter rational value (a/b): ";
  stream_in >> rvalue.ch;
  stream_in.ignore();
  stream_in >> rvalue.zn;
  cout << endl;
  return stream_in;
};

Не должно быть привязки к cout. Работа только с потоком stream_in, т.к. данные не обзательно считываются с консоли, а такой оператор должен предполагать и считывание из файла. Приглашение ко вводу нужно делать "в main", или реализовать метод для ввода с приглашением, принимающий два потока. Перевод строки также после ввода не нужно делать.
Основная проблема:
Не совсем правильное решение, см. комментарии:

public:
  template <class T1> 
  friend istream& operator>>(istream& stream_in, rat<T1> &rvalue); 
  template <class T1>
  friend ostream& operator<<(ostream& stream_out, const rat<T1> &rvalue);

UPD:
Правильное

template <class T> class rat;
template <class T> istream& operator>>(istream& stream_in, rat<T> &rvalue);
template <class T> ostream& operator<<(ostream& stream_out,const rat<T> &rvalue);

template <class T> 
class rat{
  T ch, zn;
public:
  friend istream& operator>> <T> (istream& stream_in, rat &rvalue); 
  friend ostream& operator<< <T> (ostream& stream_out, const rat &rvalue);
  //......
};