Как сделать перезагрузку компонента, срабатываемая на любой клик в любом месте сайта?

partyzanx, пожалуйста. Фреймворки это просто удобный инструмент, использовать его или нет это уже дело личное.

Как сделать перезагрузку компонента, срабатываемая на любой клик в любом месте сайта?

partyzanx, может быть не очень удобный способ, но в mounted() document.body.addEventListener() и так далее. Не забудьте удалить слушатель в beforeDestroy().

Как реализовать лайки?

q1zin, почему же? Возвращай Promise на фронте и жди ответа от бэкенда с результатом запроса. Если он успешен, то просто инкреметируй (или декрементируй) количество лайков.

Можно ли добавить через vue cli стороннюю js библиотеку в vue?

Zhalgas Saparov, к примеру, передать некоторые данные в пропсах, а в компоненте в хуке mounted инициализировать библиотеку с параметрами из props

Что такое vue.js, насколько он мейнстримен и насколько эффективен?

Такой же "не очень качественный" как и "не очень качественный" комментарий.

Vue-router обновляет маршрут, но не обновляет URL?

У меня подобная ситуация, только это встречается в Mozilla Developer Edition. С остальных браузеров все работает корректно.